sacred geometry header image with logo

DRAUGI:

antroposofijas mājas lapa
Lapa atjaunota 2018. gada 10. februārī.

Senās Mediācijas zināšanas

Mediācija — vidējošana

Vārds "mediācija" no latīņu val. medius- "vidus" un proto-indo-eiropiešu pirmval. medhyos ar nozīmi "vidus". Vārds "mediācija" savā būtībā saistāms arī ar nozīmēm "meditācija" un "mēdijs" jeb "mēdiums".

Mediācija- "vidējā" sasniegšana caur galējo vērtību apzināšanas pieredzēm, caur robežu šķērsošanu un apziņas paplašinājumu. Zinot galējās vērtības atrast "saprātīgo" līdzsvara punktu jeb viduspunktu. Mediāna — "vidējais, vidus". Vidus stāvokļa sasniegšana latviešu tautas dziesmās: "vidū jūras, vidū gaisa, vidū akmens".

Zinu, zinu, bet neteikšu,
Kur Saulīte nakti guļ:
Vidū jūras uz akmeņa
Zelta niedres galiņā.

Saules meita sagšas auda,
Vidū gaisa stāvēdama:
Divi lāses tīra zelta,
Trešā tīra sudrabiņa.

Es pārjāju akmens tiltu
Ar tērauda kumeliņu;
Priekšā guns, pakaļā,
Vidū manis augumiņš.

Sakrālās ģeometrijas metode[1] mediācija ir saistāma ar dažādu proporciju vidējo vērtību noteikšanu. Proporciju var definēt kā salīdzinājumu, piemēram, formu, izmēru, daudzuma vai kvalitāšu salīdzinājumu un arī attiecību pret visu kopumu. Mediācija šajā kontekstā pēc Platona ir galējo vērtību salīdzināšana caur vidējo vērtību jeb mediānu. Lai atrastu vidējo vērtību, nepieciešamas vismaz divas dažādas viena veida vērtības. Attiecības galējos locekļus sauc par proporcijas malējiem locekļiem. Proporcijas vispār vai konkrēti — ģeometrisko proporciju — , Senie Grieķi sauca "Logoss", kas ir ezoteriskās filosofijas pamatjēdziens ar nozīmi "darbība, programma", "vārds" utt.

Pitagoriešu vidējie lielumi

Apskatīsim trīs dažādas vispārzināmas proporcijas un to vidējos lielumus:

  1. aritmētiska proporcija un aritmētiskais vidējais;
  2. ģeometriska proporcija un ģeometriskais vidējais;
  3. harmoniska proporcija un harmoniskais vidējais;

Trīs augstākminēto vidējo lielumu studijas ietilpa Pitagoriešu garīgi — matemātiskajās studijās, un tādēļ šie trīs vidējie tiek dēvēti par Pitagoriešu vidējiem vai "klasiskajiem" vidējiem.[2] Sekojošais izklāsts ir skaidrots ar aritmētiskiem lielumiem, bet skaitļu vietā var būt jebkādas vērtības: garumi, laukumi, formas utt. Ir labi apzināties Pasaules vienesamību, kur katra disciplīna ir tikai daļa no Lielā Vienuma jeb Vienotības. Katra atslēga slēdz savas durvis, bet aiz katra sliekšņa paveras savs skats uz vienotu Visumu.

Kā kodolīgi teikuši Pitagorieši, citējot savu Skolotāju, kas nav pierakstījis nevienu savu vārdu:

Aritmētika — skaitļi par sevi,
Ģeometrija — skaitļi Telpā,
Mūzika jeb Harmonija — skaitļi Laikā,
Astronomija — skaitļi Telpā un Laikā.

Aritmētiska proporcija, aritmētiskais vidējais

Ar aritmētisku proporciju saistīti skaitļi veido skaitļu secību (virkni) — aritmētisku progresiju. Progresijas katru nākamo locekli iegūst, iepriekšējam skaitlim pieskaitot konstantu vērtību — diferenci. Piemēram, skaitļu secība 3, 5, 7, 9 ir aritmētiska progresija ar diferenci 2 (d= 2). Aritmētiskās proporcijas vidējās vērtības noteikšanai lieto matemātisku formulu: A = ( a + c ) / 2, kur a; c — proporcijas malējie locekļi jeb galējās vērtības.

Piemēram, 3, 5, 7 — aritmētiskā progresija ar aritmētisko vidējo A= 5.

Šeit un turpmāk ar a, b, c pierakstītās sakarības atbilst sekojošām definīcijām:

  1. a ir lielāks par b un b ir lielāks par c (a > b > c);
  2. a — b nozīmē: a atšķirība no b (jeb pirmā atšķirība); b — c nozīmē: b atšķirība no c (jeb otrā atšķirība).[3]

Aritmētiskās skaitļu proporcijas vidējo vērtību var pierakstīt sekojoši:

a — b : b — c : : a : a, vai b : b, vai c : c,

ko var izteikt vārdos kā: a atšķirība no b attiecas pret b atšķirību no c tādā pat veidā kā viena no vērtībām (a vai b, vai c) attiecas pret sevi pašu.

Aritmētiskā proporcija satur saskaitīšanas un atņemšanas likumības, rāda atšķirību vienlīdzību, bet attiecību nevienlīdzību. Tas pats izteikts ar skaitliskiem lielumiem: 7 - 5 = 5 - 3, bet 7 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 3.

Ģeometriska proporcija, ģeometriskais vidējais

Ar ģeometrisku proporciju saistīti skaitļi veido skaitļu secību (virkni) — ģeometrisku progresiju. Ģeometriskās progresijas (secības) katru nākamo locekli iegūst, iepriekšējo reizinot ar konstantu skaitli — kvocientu, kas atšķirīgs no 0. Piemēram, skaitļu secība 2, 6, 18, 54 ir ģeometriska progresija ar kvocientu 3. Ģeometriskas proporcijas vidējās vērtības noteikšanai lieto matemātisku formulu: G = √a × c, no kuras: G2 = a × c; un a; c — proporcijas malējie locekļi jeb galējās vērtības.

Piemēram, 4, 8, 16 — ģeometriskā progresija ar ģeometrisko vidējo G= 8.

Ģeometriskās skaitļu proporcijas vidējo vērtību var pierakstīt sekojoši:

a — b : b — c : : a : b,

ko var izteikt vārdos kā: a atšķirība no b attiecas pret b atšķirību no c tādā pat veidā kā a attiecas pret b.

Ģeometriska proporcija satur reizināšanas un dalīšanas likumības, rāda attiecību vienlīdzību, bet atšķirību nevienlīdzību. Tas pats izteikts skaitļos: 8 ÷ 4 = 16 ÷ 8, bet 8 - 4 = 4 un 16 - 8 = 8; 4 ≠ 8. To sauc arī par pilnīgu proporciju, jo tā ir tieši proporcionāla attiecība.

Vēl par ģeometrisko progresiju skaties mājaslapā šeit

Harmoniska proporcija, harmoniskais vidējais

Ar harmonisku proporciju saistīti skaitļi veido skaitļu secību (virkni) — harmonisku progresiju. Harmoniskas progresiju veido aritmētiskās progresijas apgrieztās vērtības. Vispārējā harmoniskās progresijas vai harmonisko sēriju formula: 1/a, 1/(a+d), 1/(a+2d), 1/(a+3d), utt. Harmoniskās proporcijas vidējās vērtības noteikšanai starp diviem lielumiem lieto matemātisku formulu:

H = (2 × a × b) ÷ a + b, kur a; b — proporcijas malējie locekļi jeb galējās vērtības.

Piemēram: 2, 3, 6 — harmoniskā progresija ar harmonisko vidējo H= 3.

Bet, lai aprēķinātu harmonisko vidējo starp trim lielumiem, lieto sekojošo formulu:

H = (3 × a × b × c) ÷ a × b + a × c + b × c, kur a, b, c — proporcijas locekļi. Plašāk par harmonisko vidējo skat. http://mathworld.wolfram.com/ vietnē šeit

Harmoniskās skaitļu proporcijas vidējo vērtību var pierakstīt sekojoši:

a — b : b — c : : a : c,

ko var izteikt vārdos kā: a atšķirība no b attiecas pret b atšķirību no c tādā pat veidā kā a attiecas pret c.

Harmoniskā proporcija satur abus augšanas rakstus — saskaitīšanas un reizināšanas likumības vienlaicīgi.

Smirnas Teons par harmonisko proporciju [4]

"Harmoniska proporcija ir sastopama tad, kad ir doti trīs locekļi, un kad pirmais ir pret trešo tādā pat attiecībā kā pirmais ir lielāks par otro un kā otrais ir lielāks par trešo. Doti skaitļi 6, 3, 2; proporcijas malējais loceklis 6 ir trīskāršots 2, un 6 ir lielāks par trīs par 3, kas ir trīskāršota vienība, un 3 ir lielāks par 2 par šo vienību. Šai proporcijai piemīt īpašība, ka vidējais loceklis ir lielāks par vienu proporcijas malējo locekli un ir mazāks par otru par tādu pašu proporcijas malējo locekļu daļu. Tādējādi proporcijā, kas veidota no skaitļiem 2, 3 un 6, proporcijas malējais loceklis 6 ir lielāks par 3 par pusi no 6, un otra galējā vērtība 2 ir mazāka par 3 par pusi no 2. Turklāt, ja malējās vērtības ir saskaitītas un summa tiek reizināta ar vidējo vērtību, tad tiek iegūts skaitlis, kas ir dubults proporcijas malējo locekļu reizinājumam. Tā 6 + 2 = 8, un 8, reizināts ar vidējo vērtību 3, dod 24; tātad: 6 x 2= 12, kura dubultojums ir 24."

Aritmētiskais, ģeometriskais un harmoniskais vidējais vienā diagrammā

pythagorean mens

Pitagoriešu vidējie lielumi: A, G un H

Diagrammā attēloti trīs Pitagoriešu vidējie lielumi, ja doti sākotnējie divi: a= 6 un b= 12. Zīmējums rāda, ka visi trīs vidējie lielumi atrodami tīri ģeometriskā veidā — attēlojot tos grafiski.

Pirmais posms : divu lielumu (sa)līdzināšana un aritmētiskais vidējais. Zīmējam abus lielumus kā attiecīgu vienību garus nogriežņus vienu aiz otra horizontālā veidā. Ar cirkuļa lokiem no nogriežņu ārējiem punktiem (galējām vērtībām) atrod kopgaruma viduspunktu A, no kura, savukārt, velk loku ar rādiusu R= galējās vērtības (jeb diagrammā R= 9 vienības), savienojot nogriežņu kopgarumu. Perpendikuls (tā garums — 9) no punkta A pret loku ir aritmētiskais vidējais (A) dotajām vērtībām 6 un 12.

Otrais posms : ģeometriskais vidējais, ko vienkārši atrod, novelkot ⊥ no abu salīdzināmo vērtību (6 un 12) kopējā punkta (G). Perpendikula garums GG' ir ģeometriskais vidējais (G ≈ 8.4853).

Trešais posms : harmoniskais vidējais, ko iegūst, savienojot A ar G'. Tad velk ⊥ pret AG' tā, lai tas ietu caur G. Perpendikula (jeb ģeometriskā "salīdzinātāja, atšķīrēja") pamats dod harmonisko vidējo (H), kas ir garums G'H jeb 8. Tādā veidā parādās trīs Pitagoriešu vidējo savstarpējās saistības, kas izveido uzskatāmu grafisku struktūru puslokā. Jāatzīmē, ka starp trim vidējiem, vienmēr ir spēkā sakarība: H ≤ G ≤ A. Skat. arī ārējo saiti šeit:

Šeit apskatīto trīs proporciju struktūras un īpašības parādās ne tikai skaitļos, bet arī dabaszinātnēs, mūzikā, arhitektūrā, sakrālo diagrammu likumībās un tēlotāju mākslu izteiksmes līdzekļos. Šīs attiecības saistāmas ar arhetipisko pirmtēlu jēdzienu. Mediācija proporciju struktūru izpētē ir ezoteriska prakse, kas atklāj lietu un parādību atšķirīguma dziļāko jēgu. Mediācija ir kā trīsdalītā un trīsvienīgā Tēze (viena galējā vērtība) — Antitēze (otra galējā vērtība) — Sintēze (vidējais). Sintēzes meklējumi pavada cilvēci kopš aizlaikiem; tas ir veids kā savienot pretpolus vienā izsvērtā, harmoniskā kopumā.

Turpinājums sekos



Atsauces, skaidrojumi un saīsinājumi

1 Sengrieķu methodos — "pētīšanas ceļš"
2 Weisstein, Eric W.
3 Lawlor R. Sacred Geometry. Philosophy and practice, Thames & Hudson (1995), 80.lpp.
4 Smirnas Teons "Matemātika — noderīga Platona izpratnei"; © Tulkojums latviešu valodā www.sakralageometrija.lv, 2013. gads pēc: Lawlor, Robert & Deborah Mathematics useful for understanding Plato by Theon of Smyrna. Translated from the 1892 Greek/French edition of J.Dupuis, San Diego (1979), 76.lpp